量子计算笔记Week2(coursera)

第二周将学习量子计算的数学模型

本文只记录官方笔记中没有的或我觉得重要的内容

官方笔记我放在最后

基本数学

希尔伯特空间(Hilbert space)即完备的内积空间

$A^*$ 表示A的共轭转置(conjugate transpose), 即$A^{*} = \overline{A^T}$, 后面有些地方用$A^{\dagger}$

复数绝对值(Modulus)

Kronecker product

酉矩阵

Quantum Information

Qubit

见官方讲义

Qubit Measurement. Part 1

5.10

This basis vector is the measurement outcome.(基即测量的结果)

7.16

But I also told you that the observer here can choose the basis of the states.And after observation, each particular copy of that observer entangles with one of these states,and subjectively observes this, as the measurement outcome.

当测量后, observer与一个状态产生了纠缠, 我们主观的把这个状态当作测量结果

9.15

当一个qubit是$\phi$时, 并不是所有的宇宙都是$\phi$, 只是一个平均值

12.06

多次测量结果一样

我们能制造这个state的成百上千的复制, 然后测量这些states, 对$\alpha$和$\beta$进行估算吗?

不行, 已证明coping of unknown quantum states is impossible

不可克隆原理

14.28

左右(即经典的bit和qubit)信息都是1bit

Qubit Measurement. Part 2

前几分钟, 合适的基对于从量子系统获得信息很重要, 官方笔记1.2.(7)特殊例子

4.58

与crystal偏振方向正交时反射, 相同时通过并产生第二个波(相位不同), 讲解了为什么会这样

9.50

说明了光通过crystal通过概率和不通过概率, So these crystals can perform for us a measurement of qubits which are encoded by the photons polarization.

the choice of the basis is performed by rotation of the polarizer

通过的与optical axis相同, 反射的与optical axis垂直

最后5分钟, 讲解polarizer应用等等

Systems with Multiple Qubits

6.00

提出了一个反例, 说明之前的方法有点问题

Now, it’s very common misunderstanding about all this. The real quantum systems, the qubits, they don’t situate in some Hilbert spaces, and if you take two of them, they don’t initiate some tens of product of these spaces. It is our way of describing them. It is our choice. We decide to describe it as some vector in Hilbert spaces, and it is convenient for us to describe two qubits in the space of four dimensions.

用Kronecker product构造新的基的columns表示形式

|101>即一个8维列向量第5个位置(从0开始数)是1, 其余为0

1000个qubit能有很多状态, 投掷1000个硬币也可以产生这么多状态, 为什么没人用硬币来造计算机? 下一节我们将明白为什么.

Measuring the Multiple Qubits Systems

当两个particles纠缠(entangle)时, 就不能表示为两个小系统的向量积(tensor product), 两个粒子间有了相关性, 不是独立的了

Bell state

the spooky action at a distance

爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬

回到上一节最后的问题

Because for quantum states, they really exist in some places in the multiverse. They actually exist and they can compute

For the flipping coins. The only measurement outcome is real.

即量子的各种状态是真实存在的, 而对于硬币, 只有最后的结果是真实的, 其他状态并不存在

Quantum Gates

Quantum System Evolution. Computations. Part 1

Operator U is 酉矩阵(unitary matrix)

U不改变向量的长度, 也不改变向量与向量间的角度

$$\mid +\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 1\rangle$$

$$\mid -\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\mid 1\rangle$$

Hadamard Tranform

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1&1\\
1&-1\\
\end{pmatrix}$$

$$H^{*} = H$$

$$H \mid 0\rangle = \mid +\rangle$$

$$H \mid 1\rangle = \mid -\rangle$$

Hadamard transform maps the basis ( |0> , |1> ) to the Hadamard basis ( |+> , |-> )

Gate X

$$X = \begin{pmatrix}
0&1\\
1&0\\
\end{pmatrix}$$

$$X^{*} = X$$

$$X \mid 0\rangle = \mid 1\rangle$$

$$X \mid 1\rangle = \mid 0\rangle$$

Gate X is the quantum NOT gate

Gate CNOT

$$CNOT = \begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&0&1\\
0&0&1&0\\
\end{pmatrix}$$

$$CNOT \mid 00\rangle = \mid 00\rangle$$

$$CNOT \mid 01\rangle = \mid 01\rangle$$

$$CNOT \mid 10\rangle = \mid 11\rangle$$

$$CNOT \mid 11\rangle = \mid 10\rangle$$

CNOT is the quantum conditional NOT operator

Quantum System Evolution. Computations. Part 2

官方笔记很详细

$$A\mid x\rangle\otimes B\mid y\rangle\ = \left(A\otimes B\right)\mid xy\rangle$$

从上面的公式推出多qubit时变换矩阵的值

CNOT无法分解, 对于Fig.9的情况要用其他方法

课最后有一个有趣的公式

$$H_n \mid x\rangle = \frac{1}{2^{n/2}}\sum_{y=0}^{2^n-1}{\left(-1\right)^{x\bullet y}\mid y\rangle}$$

$$x\bullet y = x_0y_0\oplus x_1y_1\oplus\cdots\oplus x_{n-1}y_{n-1}$$

为什么有趣?

比如n取2, x取$\mid 00\rangle$时

$$H_2 \mid 00\rangle = \frac{\mid 00\rangle + \mid 01\rangle + \mid 10\rangle + \mid 11\rangle}{2}$$

此时这2个qubit处于叠加态, 且观察时得到各个状态概率相同

官方笔记

尾记(杂七杂八)

一个自己整理的将pdf转成一整张图片的代码

ubuntu自带Image Viewer无法显示超大分辨率图像(上图分辨率为42096*2481)

Pycharm打开超大分辨率图像会崩溃

还是Windows的图像显示器牛逼!